La imposibilidad de resolver ecuaciones que presentan raíces de números negativos con el conjunto de los números reales nos lleva a la necesidad de ampliar dicho conjunto. Por ejemplo, para ecuaciones de este tipo:
x²+1 = 0; x2 = -1; => x = ±√-1
no tienen soluciones en el conjuntos de los números reales, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea -1.
A pesar de que las expresiones donde aparecen raíces cuadradas de números negativos ya eran conocidas por algunos matemáticos de la antigüedad, aunque no es hasta el siglo XVI con el estudio y resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado de los matemáticos italianos Niccoló Tartaglia y Girolamo Cardano, quienes empezaron a establecer reglas de cálculo con este tipo de raíces, operando con estas como si de números se tratara. Sin embargo era muy complicado de asumir que algo tan imaginario como √-1 se operase tratándolo como un número. En el siglo XVIII se empieza a usar el símbolo i, inicial del término imaginario, para referirse a √-1 y lo llama unidad imaginaria.
i = √-1; i² = -1
De esta forma la ecuación anterior tiene como soluciones x = i y x = -i.
x²+1 = 0; => x = ±√-1 => x = ±i
Así podemos resolver otras ecuaciones algo más complicadas:
x²+2x+5 = 0; => x = -1+2i y x = -1-2i
Expresiones como 2+2i o 5i donde aparece la unidad imaginaria se denominan números complejos. Un número complejo se representa en la siguiente forma binómica: a+bi, siendo a y b números reales. Al número real a se le llama parte real del número complejo y a bi se le llama parte imaginaria.
Si a=0, el número complejo se transforma en un número imaginario puro.
Si b=0, el número complejo se transforma en un número real.
Dos números complejos a+bi y c+di son iguales si a=c y b=d. El opuesto de a+bi sería -c-di. El conjugado de un número complejo a+bi es el mismo número complejo con distinto signo en la parte imaginaria, es decir: a-bi.
Los números complejos se representan en el plano complejo. La parte real del complejo se representa en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas. En el plano complejo, a cada número complejo z = a+bi se le asigna el punto de coordenadas P(a,b), que se denomina afijo del número complejo. Todo complejo se puede representar como un vector OP, siendo O el origen de coordenadas y P el afijo del complejo.
En el plano complejo el punto P se puede determinar por sus coordenadas a y b, o bien por el módulo del vector OP y el ángulo α que se forma entre el vector y el semieje positivo de abscisas. Las coordenadas polares de un número complejo son el par (R, α), que se escribe de la forma Rα, siendo R el módulo y α el ángulo.
El módulo de un número complejo a+bi es la longitud del segmento OP, es decir, R=?a²+b².
El argumento ? se calcula haciendo uso de razones trigonométricas, pues ?=arc tg b/a. Normalmente el argumento se representa en radianes, aunque en muchos libros aparecen en grados.
Los números imaginarios puros tienen argumento de 90 grados si b es mayor que 0 o 270 grados si b es menor que 0 (lógicamente b nunca será igual a 0 porque no sería imaginario puro). Así que i=1π/2 y -i=13π/2.
En cambio los números reales tienen argumento de 0 grados si a es mayor que 0 o 180 grados si a es menor que cero. Así que 1=10 y -1=1π.
En reconocimiento de que Gauss fuera el primer matemático que hiciese la representación gráfica de los números complejos, el plano complejo también se conoce como plano de Gauss.
En resumen, un número complejo se representa en forma binómico a+bi, y también se puede representar en forma polar de la forma Rα.
Por ejemplo, vamos a pasar el número complejo z=1+√3 a forma polar:
Vamos a calcular primero el módulo de z:
R=√1²+(√3)²=√4=2=>R=2
Ahora vamos a calcular el argumento del complejo z:
tgα = √3/1 => α = arc tg √3/1 = π/3 => α= π/3
Por lo tanto el complejo z en forma polar es: z=2π/3
También podemos representar z en una expresión que se conoce como forma trigonométrica, que viene dada con la siguiente fórmula:
z = R(cos α + sen α i)
Por lo tanto, el número complejo que hemos trabajado en ejemplo anterior quedaría: z = 2(cos π/3 + sen π/3 i)