He aquí la respuesta a la paradoja del cumpleaños. Recordemos brevemente en qué consistía el problema: ¿Verdadero o falso? En una reunión de 25 personas es bastante probable que dos personas coincidan en su fecha de cumpleaños. Concretamente: es más probable que la posibilidad contraria (que nadie coincida). Muchos habéis dado con el enfoque adecuado, aunque los números hayan variado algo de unos a otros. El error más extendido es haber interpretado la pregunta como la probabilidad de que alguien cumpla el mismo día que uno mismo, y no como la probabilidad de que dos cualesquiera coincidan en su fecha de nacimiento. La respuesta más completa y diría yo que inmejorable, es la que ha dado vicioso en su comentario:
”[...] La probabilidad de que, entre 25 personas, haya 2 con la misma fecha de cumpleaños es difícil de calcular. Es más sencillo calcular el caso contrario, que no loas haya, y restar el resultado a 1 (o a 100, si hablamos de porcentajes). Desechando los problemas que acarrearía tener en cuenta los años bisiestos, o la presencia de gemelos o mellizos, tomada una persona cualquiera, la siguiente tedrá una probabilidad de 364/365 de no coincidir con la primera (364 días de 365, no coinciden con el cumpleaños de la primera). Por la misma razón, a la siguiente persona le quedan 363 días para no coincidir, o sea, una probabilidad de 363/365.
Para 25 personas, habría que multiplicar cada una de sus probabilidades, es decir:
(364/365)(363/365)*(362/365)*…[(365-25+1)/365]Puesto en números factoriales, nos queda 365!/[365^n(365-n)!], siendo n=25.
El resultado es, aproximadamente, 0,4313 (lo he hallado con la calculadora científica de Windows, espero no haberme equivocado). O sea, que hay un 43,13 % de posibilidades de que, entre 25 personas, no haya dos con la misma fecha de cumpleaños. Por tanto, la probabilidad de que sí haya dos personas coincidentes en su cumpleaños es de 56,87% y, por tanto, el enunciado del problema es correcto. En cambio, si yo entro en una habitación con 24 personas, la probabilidad de que halle una que tenga mi misma fecha de nacimiento que yo es sólo de 1-(364/365)^24, es decir, 0,0637, o un 6,37%.”
Poco se puede añadir a una respuesta tan completa y bien explicada. Felicidades a los que distéis con la solución ¡y ánimo para todos con los siguientes quizs!