En los comentarios que se fueron dejando en el post en el que se plantea la pregunta de si existen infinitos más grandes que otros, encontré un tema recurrente que es el de que la parte siempre tiene que tener menos elementos que el todo; Esta concepción fue radicalmente modificada en el siglo XIX, pero había permanecido en la mente de las personas desde los griegos.
Es interesante estudiar algunas propiedades de los números, especialmente cuando su cantidad es infinita: La idea de conjunto es bastante simple: se trata de objetos que se pueden colocar juntos, como dentro de una bolsa, y que son distinguibles uno del otro, aunque sea intelectualmente. Entonces uno puede tener un conjunto de personas, por ejemplo, o un conjunto de números.
En particular interesan los conjuntos de números y dentro de estos se tienen algunos más relevantes:
Números Naturales, representados por la letra
, formados por 1, 2, 3, 4, ?
Números Enteros, representados por la letra
, que incluyen a los naturales y agregan los negativos y el 0: ? , -3, -2, -1, 0, 1, 2, ?
Números Racionales, representados por la letra
, que incluyen a los anteriores y agregan todos los que se pueden escribir como una división: -4/5, 3/8, 1, 2, 8/3, 9/5, ? Es importante destacar que cualquier número con coma, que presente una cierta periodicidad, por ejemplo 0,333333? 0,142857142857? pueden ser escritos en forma de división (1/3 y 1/7, en los ejemplos anteriores.)
Números Reales, representados por la letra
, que incluyen a los anteriores y agregan todos los demás, por ejemplo
,
, etc. etc.
Como se puede ver, cada uno de los conjuntos de arriba es infinito, es decir que no puedo decir cuántos elementos tiene. Si alguien me dice que tal conjunto tiene n elementos, y me muestra una lista, yo siempre voy a poder encontrar un elemento "n+1". Es interesante entonces ver cómo se trabaja con conjuntos que son infinitos; existe una historia conocida como “Hotel de Hilbert” que cuenta lo siguiente:
"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi.’ El gerente encontró maravillosa esta solución y así lo hizo. "Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil, le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos."
Esta bonita historia, que si bien parece tirada de los pelos está mostrando 2 propiedades muy importantes de los conjuntos infinitos. Primero, que al agregar un elemento al conjunto infinito (primera parte de la historia) el infinito no se modifica. El hotel sigue siendo el mismo y con la misma cantidad de habitaciones. Lo mismo habría sucedido si se agregaban 10, 20, 30, … elementos (bastaba mandar al huésped de la habitación 1 a la 11, 21, 31, etc.) La segunda parte muestra que agregar infinitos elementos al conjunto tampoco modifica la cantidad total. Al mismo tiempo muestra algo muy peculiar, y es que la cantidad de habitaciones pares (o impares) en el hotel es la misma que la cantidad de habitaciones totales. En general uno estaría tentado a pensar que la parte es siempre menor que el todo, pero para un conjunto infinito esto estaría fallando. Es de aquí de donde surgieron las sospechas de los matemáticos, que llevaron a una teoría sobre los infinitos y a un desarrollo de la matemática verdaderamente sorprendente.
Algo que estamos muy acostumbrados a hacer es a contar. Cuando uno va al supermercado, por ejemplo, y compra 5 manzanas, cómo hizo para saber que eran 5? Simplemente colocó a cada una de las manzanas al lado de un número natural (en lenguaje técnico hizo una biyección entre los elementos de dos conjuntos) y se fijó cuál era el mayor. Este mismo método para contar lo podemos trasladar a conjuntos infinitos. Es decir que lo que intentaremos hacer es construir una relación entre los números naturales y los demás, demostrando de esa forma que hay tantos naturales cuanto enteros, etc. etc.
Es fácil ver (en el ejemplo del hotel) que hay tantos naturales como naturales pares, o naturales impares. Basta a cada natural n asignarle el número 2n+1 o 2n-1. De esa forma no quedará ni natural ni par (o impar) libre, cada uno estará ligado a otro. Con los enteros es el mismo caso, ya que basta ordenarlos de una manera inteligente para que se los pueda “contar”, por ejemplo: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. De esa forma también podremos asignarle a cada natural un número entero y viceversa.
Por esto se puede decir que generar una biyección es la forma de controlar si ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, el mismo infinito. El siguiente paso sería ver si de la lista de conjuntos de números de arriba (o alguno que se les pueda ocurrir), alguno tiene más elementos que otro, así se habrá probado que efectivamente no todos los infinitos son iguales.
La semana que viene vendrá la resolución completa, que por cierto ya algunas personas mencionaron en los comentarios, sólo que sin explicar demasiado.
Actualización 11/06/2008: Se encuentra disponible la solución.