Definición axiomática de Probabilidad

Un experimento se dice aleatorio si es posible conocer previamente todos los posibles resultados asociados al experimento, si es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo y si es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales un número ilimitado de veces. Un ejemplo de experimento aleatorio puede ser el lanzamiento de una moneda. Si disponemos de una moneda (sin ningún tipo de sesgo) tenemos un espacio muestral definido por dos casos posibles: Cara o Cruz. El espacio muestral matemáticamente se denota así Ω = {"Cara", "Cruz"}. Si lanzamos la moneda n veces y se obtienen n_c caras, la frecuencia relativa del suceso C es:

Si esta experiencia la realizan varias personas, las frecuencias relativas obtenidas no coinciden, pero oscilan alrededor de un número fijo. En el siglo XVIII Buffon repitió el experimento del lanzamiento de una moneda 4.040 veces y obtuvo una frecuencia de sucesos de cara f_c = 0,5069. En el siglo XX Pearson realizó el mismo experimento 24.000 veces, obteniendo un frecuencia de f_c = 0,5005. Las probabilidades se ajustan a f_c = 0,5, el límite cuando se realiza infinitas repeticiones del lanzamiento.

Observamos que si se realiza un gran número de repeticiones, las frecuencias relativas de aparición de los sucesos presentan regularidad estadística (ésta es la base empírica de la Teoria de la Probabilidad).

Aunque la estabilidad de las frecuencias relativas y el valor alrededor del cual oscilan sólo se pueden determinar experimentalmente, parece que este número puede darse como una medida de la posibilidad de ocurrencia de un suceso, por lo que llamaremos "probabilidad" de tal suceso. Así que obtenemos como probabilidad de un determinado suceso el número en torno al cual oscila su frecuencia relativa f, es decir, el valor límite de f al repetir un número infinito de veces un experimento.

La probabilidad es un valor, independiente del observador, que indica aproximadamente con qué frecuencia se producirá el suceso considerado en el transcurso de una larga serie de pruebas. A principios del siglo XX, se realizó una profunda revisión del concepto de probabilidad usando las herramientas más precisas del momento:

• La teoría de conjuntos (Borel)

• La teoría de la medida (Lebesgue)

La probabilidad pasa a entenderse como una medida de la incertidumbre, con propiedades similares a las medidas de longitud, tiempo, ...

Las propiedades de la probabilidad pueden estudiarse a partir de las propiedades de la frecuencia relativa.

• Si al repetir un experimento n veces, el suceso A se produce k veces:

  0 ? k ? n => 0 ? k/n ? 1 => 0 ? f_A ? 1
  f_A es un número comprendido entre 0 y 1, por lo que también deberá serlo la probabilidad de A

• Si un suceso A ocurre siempre (sea cual sea el resultado del experimento), f_A será 1. Si el suceso A no ocurre nunca (cualquiera que sea el resultado), f_A será cero. Por tanto, la probabilidad del suceso seguro debe ser 1 y la del suceso imposible 0.

• Si tomamos dos sucesos posibles A y B, mutuamente excluyentes, y se presentan, respectivamente, n_A y n_B veces al repetir la prueba n veces, el suceso unión de ambos se habrá producido n_A + n_B veces, por lo que:

  f_AUB = f_A + f_B
  Por tanto, la probabilidad del suceso unión de dos sucesos incompatibles debe ser la suma de las probabilidades de los sucesos individuales.

La axiomática de Kolmogorov (1933) viene dada por los siguientes tres axiomas:

• Axioma 1: A todo suceso A le corresponde un único número no negativo, P(A), al que llamaremos probabilidad de A

• Axioma 2: La probabilidad del suceso seguro es 1

• Axioma 3: Sean A y B dos sucesos tales que la intersección entre ambos es 0. Entonces:

  P(AUB) = P(A) + P(B)

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