La paradoja del cumpleaños

A veces, la intuición falla en asuntos de probabilidad, y la paradoja del cumpleaños es uno de ellos. Realmente, no es una paradoja, sino simplemente una certeza matemática que contradice la intuición. Si quisiéramos reunir una serie de personas en una sala y con toda seguridad tener dos personas que cumplieran años el mismo día (obviemos los años bisiestos y gemelos) rápidamente, diríamos 366; pues si tengo 365 personas es posible que ninguna coincida.

Ahora bien, imaginad que tenemos 23 personas. Si nos preguntamos cuál es la probabilidad de que en ese grupo haya al menos dos personas que cumplan el mismo día, ¿cuál sería nuestra respuesta intuitiva? Diríamos que realmente baja. El problema es que si hacemos el cálculo sale 50,7%, lo que va totalmente en contra de la intuición. Para poner un ejemplo, lo que se espera es que en uno de cada dos partidos de fútbol, si tomamos a todos los jugadores de ambos equipo y al árbitro, encontraremos al menos una coincidencia.

¿Cómo puede calcularse? Haciendo justo lo contrario: buscar que todas las fechas de nacimiento de esas personas sean diferentes. Supongamos que una determinada persona tiene una fecha particular de nacimiento. La probabilidad de que una segunda persona no coincida con la primera es de 364/365. Para que una tercera persona no coincida con las dos anteriores, la probabilidad es 363/365 y así sucesivamente hasta 23 términos. Entonces, la probabilidad de que 23 personas no coincidan en fecha de nacimiento es:

Pero precisamente, lo que queremos es lo contrario, o sea, que haya alguna coincidencia, por lo que la probabilidad es restar la unidad a la anterior cifra, que es cuando nos da ese 50,7%. Y si en vez de tener 23 personas tenemos 30, como puede ser una clase de alumnos, la probabilidad de que dos de ellos coincidan en el cumpleaños es del 70%.

Hay quien confunde los conceptos pensado que al llegar a un grupo de 30 personas, la probabilidad de que coincida el cumpleaños de uno mismo con otro es el 70% antes citado. No es así. Lo que aquí ha de hacerse es escribir todas las fechas de nacimiento de todos en un papel y entonces buscar coincidencias. Son casuísticas diferentes.

Cuando la lotería cae en la paradoja

Esta paradoja ha tenido consecuencias muy curiosas pero en otros ámbitos, como en el de la lotería.

En cierta ocasión, los funcionarios de la lotería canadiense fueron sus víctimas. Decidieron devolver cierto dinero de premios sin reclamar que habían acumulado de sus 2,4 millones de abonados. Compraron 500 coches y con un ordenador generaron 500 números de forma aleatoria. Los que tuvieran aquel número se llevarían el coche. Los funcionarios publicaron la lista y resulta que en dicha lista había un número repetido. El galardonado reclamó los dos coches y se los dieron. ¿Cómo era posible que hubiera un número repetido?

Pues aquí está la paradoja del cumpleaños que nos dice que la probabilidad de que salga algo así es aproximadamente un 5% (se calcula igual que lo hemos hecho antes). Es una probabilidad pequeña, pero no despreciable y debe tenerse en cuenta.

Algo similar sucedió en Alemania con la lotería el 21 de junio de 1995. La serie de números que salió era idéntica a la que había salido el 20 de diciembre de 1986. Fue la primera vez que en 3.016 sorteos pasaba algo así. Las probabilidades de que se repita una misma combinación haciendo números es de un 28%. Tampoco es, por tanto, una probabilidad despreciable.

Fuente | Leonard Mlodinow, El andar del borracho.
En Xataka Ciencia | Quiz: solución a la paradoja del cumpleaños
Foto | Pixabay
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