Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que les quiero convencer de una forma tan contundente que quede grabada en sus corazones. El primero es que [...] los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, aparentemente sin obedecer ninguna ley a parte del azar, y nadie puede predecir dónde florecerá el siguiente. El segundo hecho es todavía más sorprendente, ya que implica exactamente lo contrario: los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.
Don Zagier.
El estudio de los números primos es uno de los campos que más ha apasionado a los grandes matemáticos de la Historia. De caracter aparentemente impredecible, lo cierto es que los primos obedecen muchas leyes y aparecen en muchos teoremas matemáticos. Sin embargo, sólo con los ordenadores más potentes del mundo se puede seguir prediciendo qué números son primos y cuáles son compuestos.
Euclides enunció hace más de dos milenios el teorema que lleva su nombre y que establece que hay infinitos números primos. La prueba del Teorema de Euclides es muy sencilla:
Supongamos que sólo hay N números primos (siendo N finito), a los que llamamos P1, P2, ..., PN. Imaginemos el número que resulta de multiplicar todos estos números primos y sumale una unidad:
Q = (P1 · P2 · ... · PN) + 1.
El número Q no es divisible por ninguno de los números primos de la lista, ya que al realizar la división el resto siempre es 1. Por tanto, una de dos, o bien Q es primo también, o si no, debe ser forzosamente divisible por otro primo R que no está en la lista [Actualización: el comentario 1 da un buen ejemplo numérico de esto].
No importa lo grande que sea N, por muchos números primos que tengamos, como hemos visto en la demostración de Euclides siempre podremos añadir un nuevo número primo, hasta el infinito.
Por tanto, sabemos que existen infinitos números primos, pero ¿podemos predecir su existencia? la respuesta es no. De momento, no se conoce ninguna fórmula matemática práctica que nos permita predecir que un determinado número es primo. Para cada posible ‘candidato’ se debe comprobar su primalidad mediante diversos algoritmos de ‘fuerza bruta’ en potentes ordenadores.
El primo más grande conocido hasta ahora es 243112609-1, descubierto el pasado ocho de agosto. Tiene casi 13 millones de dígitos y es un primo de Mersenne. Los nueve primos más grandes que se conocen son de Mersenne. Estos primos siguen determinada fórmula que hace relativamente fácil comprobar su primalidad.
Por tanto, es cierto que existen fórmulas que nos permiten obtener conjuntos limitados de números primos, y que nos dan esos hipotéticos ‘candidatos’ a número primo. Además, a pesar de su aparente aleatoriedad, los números primos se distribuyen de una forma regular, a veces muy sorprendente. Lo veremos en la próxima entrega.
En Genciencia | Test de primalidad
Más información | The largest known primes
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