Los díscolos números primos (IV)

Tras el breve paréntesis del puente, retomamos nuestro monográfico sobre los números primos. En la primera entrega mencionábamos una cita de Don Zagier en la que afirma que los números primos muestran una asombrosa regularidad, hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.

Esta idea no concuerda muy bien con lo que hemos visto hasta ahora. Los números primos tienen un comportamiento errático, no obedecen a fórmulas matemáticas específicas y su aparición es impredecible. Sin embargo, su distribución sí se ajusta a determinados patrones.

El Teorema de los Números Primos

Este teorema no nos permite adivinar qué números son primos, pero sí nos permite estimar cuántos números primos hay por debajo de cierto número, o en un determinado intervalo. Para ello, definimos la función π(x) = {cantidad de números primos por debajo de x}. Por ejemplo, π(12) = 5, ya que hay cinco primos menores que 12 (2,3,5,7,11).

Pues bien, el teorema asegura que

es decir, la cantidad de primos menores que x es aproximadamente x/ln(x) (ln es el logaritmo neperiano). Dicho en palabras más llanas:

• Para un número natural arbitrario N, la probabilidad de que dicho número sea primo es aproximadamente 1/ln(N). Es decir, cuanto más grande sea el número, menos probable es que sea primo.

• Equivalentemente, esto significa que alrededor de N, la distancia media entre dos números primos será ln(N). Por ejemplo, en torno a 1000, aproximadamente uno de cada siete números es primo, mientras que en torno a 1000000 sería uno de cada 14.

• Otra consecuencia inmediata es que el enésimo número primo p_n será de una magnitud comparable a n·ln(n). (El margen de error absoluto es elevado, pero nos sirve para hacernos idea del tamaño del número).

El genial Carl Friedrich Gauss encontró una aproximación aún más exacta usando la función logaritmo integral desplazado Li(x) en lugar de x/ln(x):

Siendo estrictos desde el punto de vista matemático, el límite sólo implica al cociente y no a la diferencia de π(x) con Li(x) ó x/ln(x). Es decir, la resta π(x) - x/ln(x) no se hace arbitrariamente pequeña a medida que nos acercamos a infinito, de hecho crece indefinidamente. Lo que tiende a cero es el error relativo entre la aproximación y la cantidad real de números primos existente.

La imagen que ilustra el post representa todos los números primos hasta 76800: cada píxel negro en la matriz representa un número primo (están ordenados de izquierda a derecha y de arriba a abajo).

Se observa que la densidad de números primos va disminuyendo a medida que los números se hacen más grandes, pero es un descenso muy paulatino. Esto concuerda con los resultados obtenidos, ya que la función logaritmo crece muy lentamente.

Los teoremas de Betrand y Erdős

Son consecuencia directa del teorema de los números primos. La conjetura del matemático francés Bertrand señalaba que para cualquier número natural n mayor que 1, existe un número primo p que cumple n < p < 2n. La demostración llegaría años más tarde de la mano de Chebyshev.

Traducido a un lenguaje más sencillo: para cualquier número entero mayor que 1, siempre va a existir al menos un número primo que sea mayor que dicho número y menor que el doble de dicho número. Es decir, que siempre hay como mínimo un número primo entre 5 y 10, entre 43 y 86, entre 1000 y 2000, o cualquier otro ejemplo que se nos ocurra, tan grande como queramos.

Por su parte, el húngaro Erdős sostuvo que para cualquier entero positivo k, es posible encontrar un número N que verifique lo siguiente: para todo número natural n > N existen al menos k números primos. entre n y 2n.

Se trata de una proposición más fuerte que la anterior. Implica que podemos encontrar tantos primos como queramos en el intervalo entre un determinado número natural y su doble, siempre que dicho número sea suficientemente grande.

Los teoremas que hemos comentado en el post pueden parecer bastante áridos y poco interesantes desde un punto de vista práctico. Nada más lejos de la realidad. Ya desde la primera entrega comprobamos que los números primos son infinitos. Con estos resultados, comprobamos "cuán infinitos" son, es decir, tenemos una idea de cuál es la densidad de los números primos. Y como ya habíamos predicho, tiene una regularidad matemática sorprendente.

De todas formas, el siguiente post será de nuevo más "informal", y nos centraremos en algunas propiedades curiosas de la distribución de los números primos.

Imágenes | Wikimedia Commons En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III)