Llevábamos mucho tiempo sin un nuevo post en la serie sobre números primos, pero hoy por fin acaba la espera. En entregas anteriores hemos hablado fundamentalmente de distintos tipos de números primos y conjeturas que hablan sobre ellos. Hoy daremos una pequeña vuelta de tuerca y jugaremos un poco con los números primos y los números complejos. En concreto, hablaremos de los primos gaussianos.
Como sabemos, los números complejos son del tipo x + yi, donde x (la “parte real”) e y (la “parte imaginaria”) son números reales, mientras que i es la llamada “unidad imaginaria”, es decir, la raíz cuadrada de -1. Todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en los números complejos, cosa que no siempre sucede con los reales (por ejemplo, la ecuación x2 = -1 no tiene solución real, pero tiene dos soluciones complejas: i y -i).
Los enteros de Gauss (o gaussianos) son un subconjunto particular de los complejos, donde tanto x como y son enteros. Por ejemplo, 5 + 3i es un entero de Gauss. Por simplificar, llamaremos Z a dicho conjunto. Los “elementos primos” de Z son todos aquellos que no se puedan factorizar (descomponer) en otros elementos de Z. Se les llama también primos gaussianos, pero no debéis confundiros con la terminología. Los llamados primos gaussianos no son (necesariamente) números primos (ya que los números primos son números naturales). Para evitar dudas, los seguiremos denominando elementos primos de Z.
Nuestra pregunta es: ¿son todos los números primos elementos primos de Z? y la respuesta es no, empezando por el primero: 2 = i·(1-i)·(1-i), no es un elemento primo de Z. Otro ejemplo puede ser 5 = (1 + 2i)·(1 – 2i). Pero sí que existen números primos que son elementos primos de Z, como por ejemplo, 7. De hecho, existen infinitos números primos que son además primos gaussianos.
¿Existe alguna forma de predecir qué números primos serán elementos primos de Z? de hecho, sí. Todos los que son de forma 4n + 3 lo son. Por ejemplo, 3, 7, 11, 19, 23, etc. Sin embargo, los que no siguen esa fórmula se pueden descomponer en factores, como sucedía con 2 y 5, y sucede con 13, 17, etc.
Los enteros de Gauss son una mera curiosidad matemática, sin embargo tienen aplicaciones concretas en determinadas demostraciones. En concreto, Gauss los utilizó para demostrar con más facilidad la ley de reciprocidad cuadrática (relacionada con los números primos). También existen unas cuantas cuestiones sin resolver respecto a ellos, por ejemplo, la conjetura de que existan infinitos primos gaussianos de forma 1 + ni, que no ha sido resuelta aún.
Por cierto, la imagen que encabeza el artículo representa todos los primos gaussianos con norma menor de 500. Los números complejos se suelen representar en dos dimensiones como en un sistema de coordenadas, donde el eje de abscisas es la parte real y el eje de ordenadas es la parte imaginaria. La norma de un entero gaussiano, por cierto, es x2 + y2. El patrón que dibujan los primos gaussianos es bastante curioso, y de hecho ya hay que lo ha usado en motivo textil.
Más información | Gaussianos
Imagen | Wikimedia Commons
En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V), (VI), (VII), (VIII).
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Ignacio
#1 tienes razón, el original estaba mal, lo que quería haber escrito es 2 = i(1-i)(1-i) = i(1-i)^2 (ya está corregido, puedes comprobar que es correcto).
La factorización que tú propones también es correcta, lo que convierte a 2 en el único primo que tiene dos factorizaciones alternativas en el dominio de los enteros gaussianos.
Ignacio
#4 tienes toda la razón, en realidad lo que debería haber dicho es que 2 es el único primo ramificado en el conjunto Z [http://en.wikipedia.org/wiki/Ramification#In_algebraic_number_theory] que es otro concepto distinto. También es el único que es divisible por el cuadrado de otro primo gaussiano (en este caso, 1-i).
Pero sí, de hecho los enteros gaussianos son un dominio de factorización único y estrictamente hablando las dos factorizaciones de 2 que hemos dado son esencialmente la misma.
ajota_11_
hay un error: 2=(1-i)(1+i) y ya que (1-i)(1-i)=-2i
dur
Mmm...creo que eso ultimo que has dicho no es cierto, ni el 2 ni ningun otro elemento que pertenezca a los enteros de gauss puede tener varias factorizaciones, ya que es un dominio euclideo y todos estos son dominios de factorizacion unica. La factorizacion que ha dado #1 y la tuya en realidad es la misma, ya que todos los elementos irreducibles de ambas factorizaciones son asociados uno a uno con los de la otra factorizacion.
Saludos
concha.agudosalguero
No entiendo muy bien mucho de lo que describes pero me fascinan las Matemáticas, he leído en el artículo de Los Códigos Secretos de la Biblia: "llegaron las Matemáticas, con su plácida languidez..." o algo parecido. Creo que es esa plácida languidez la que me conquista a mí, aunque no la entiendo por completo. Es fascinante lo tranquila que te quedas al saber que hay gente que calcula cosas o inventa fórmulas para darnos soluciones a todo. Y enhorabuena, ya quisieran otra gente tener lectores tan atentos y expertos y tan amables. En los comentarios reside la esencia de vuestro blog. Yo hago a ratos cositas a croché, me gustaría hacerte un panel de primos como el de arriba, de esos que dices que en Holanda ya han tejido,(pero son muy serios y muy muy caros) yo me ofrezco a hacerlo con humor y colores... Y para demostrarte que el croché es sobre todo contar... mira esto qué divertido: http://www.theiff.org/main.html