Los díscolos números primos (V)

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18 Octubre 2009

Ignacio Munguía

Nuestro anterior post hablaba de la distribución de los números primos, en concreto, del Teorema de los Números Primos, que nos da una idea de con qué frecuencia aparecen.

Como lo prometido es deuda, en esta ocasión toca hablar de propiedades curiosas de la distribución de los números primos. Y es que, a veces, colocándolos de una forma determinada, pasan cosas sorprendentes.

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanisław Ulam descubrió esta espiral de casualidad. Aburrido durante una conferencia, empezó a organizar los números naturales en una espiral, empezando con el número uno en el centro, tal y como se muestra en la imagen. Después, rodeó con un círculo todos los números primos, y observó un hecho sorprendente.

¿Habéis hecho la prueba? ¿notáis algo especial? tal vez no se aprecie en un primer vistazo, pero si se observa con atención... parece que los números primos aparecen en determinadas diagonales. Y en efecto, podemos ampliar la espiral tanto como queramos y nos daremos cuenta de que los números primos tienden a aparecer con mucha más frecuencia en determinadas diagonales.

Vemos en la imagen una espiral de Ulam de 200x200, donde aparecen representados 40000 números. Los primos están marcados con píxeles negros.

El resultado es de gran trascendencia, y llegó a aparecer en la prestigiosa revista Scientific American. Se puede comprobar que este tipo de diagonales aparecen aunque iniciemos la espiral en un número que no sea 1.

Analizándolo matemáticamente, esto implica que existen muchas constantes a y b tales que los números generados por la fórmula 4n² + an + b son primos en una proporción inusualmente elevada. Este hecho no tiene una explicación matemática aparente.

La espiral de Sacks

Se trata de una variante de la anterior. En lugar de colocar los números formando una 'espiral cuadrada' como en el caso de Ulam, se colocan en forma de espiral de Arquímedes. Y sorprendentemente, de nuevo aparecen determinadas líneas con una alta densidad de números primos, incluso de forma más notoria.

Las curvas corresponden a determinados polinomios. Una de ellas contiene los primos de la forma n² + n + 41. Ya en el siglo XVIII el gran Euler se dio cuenta de que ese polinomio 'generaba' una cantidad sorprendentemente alta de primos.

Estos curiosos descubrimientos son relativamente recientes. La espiral de Sacks data de 1994 y la de Ulam de 1963. Quién sabe qué otras sorpresas no descubiertas aún nos pueden deparar los números primos.

Por cierto, para todos los que estéis ya aburridos de tanto número primo, la serie ya se está acercando a su fin ;)

Imágenes | Wikimedia Commons Más información | The Sacks Number Spiral En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV).