Los díscolos números primos (VIII)

En la anterior entrega de la serie hablamos de la Conjetura de Goldbach, que asegura que cualquier número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Aunque aún no se ha podido demostrar, se cree que es cierta. Existe otra conjetura muy famosa sobre los números primos que es la que presentamos hoy.

Conjetura de los primos gemelos

Recordemos (como vimos en el segundo capítulo) que los primos gemelos son aquellos que están separados tan solo por una unidad. Por ejemplo, 11 y 13. Según la conjetura:

Existen infinitas parejas de primos gemelos

Se trata de un enunciado apócrifo, pero que al igual que la conjetura de Goldbach, ha atraído durante años la atención de muchos de los mejores matemáticos.

Intuitivamente, podríamos estar tentados de pensar que es improbable que haya infinitos primos gemelos. Sabemos que la distribución de los números primos es cada vez menos densa, es decir, los números primos están, en general, cada vez más separados entre sí, de hecho, su separación promedio es ln(N). Por ello el sentido común nos dice que para cantidades elevadas sería prácticamente imposible encontrar dos primos separados por tan solo una unidad.

Y sin embargo, se han encontrado primos gemelos extraordinariamente grandes. A día de hoy, los más grandes que se conocen son 65516468355 · 2³³³³³³ ± 1. Tienen la friolera de 100355 dígitos. En realidad, se cree que la conjetura es correcta y se han dado pasos importantes hacia su demostración.

Teoremas de Brun y de Chen

Viggo Brun consiguió demostrar que la suma de los recíprocos de los primos gemelos (es decir, (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + ...) converge a una determinada constante. Si dicha constante fuese irracional (cosa que aún no sabemos), esto implicaría la certeza de la conjetura.

Paul Erdős demostró que existen infinitos primos que cumplen que p' - p < c·ln(p), siendo p y p' dos primos consecutivos. En 2005 se demostró que la constante c puede ser arbitrariamente pequeña. Esto no demuestra necesariamente la conjetura (ya que equivalentemente p puede ser arbitrariamente grande), pero nos deja prácticamente a las puertas.

Reforzando la idea de que la conjetura es cierta, el 2º Teorema de Chen afirma que existen infinitas parejas de números p y p + 2, donde o bien los dos números son primos (es decir, serían primos gemelos) o bien uno de los dos es primo y el otro es semiprimo (es decir, producto de dos números primos).

Constante de los números primos y conjetura de Hardy-Littlewood

Se define la constante de los números primos como

C₂ = Π_p≥3 (1 - ¹/_(p-1)²) = 0,6601618158...

donde p son los números primos (mayores o iguales que 3) y el operador Π representa el producto de infinitos factores.

Pues bien, si llamamos π₂(x) al número de parejas de primos gemelos menores que x, la conjetura de Hardy-Littlewood asegura que π₂(x) ~ 2·C₂·Li(x) (donde la función Li(x) es el logaritmo integral desplazado que ya introdujimos en el cuarto capítulo). Precisamente el gráfico que ilustra la entrada es la representación de π₂(x) hasta x = 100000.

Si esta conjetura fuese cierta, también sería cierta la conjetura de los primos gemelos, ya que π₂(x) podría crecer indefinidamente. Sin embargo, no se ha llegado a demostrar (aunque sí a justificar su resultado).

Como veis, el tema de los números primos sigue dando de sí. Estoy pensando aún de que tratará la novena entrega, que quizá sea la última. No me atrevo a garantizarlo, porque inicialmente la serie iba a tener tres o cuatro posts y ya veis donde estamos ahora :)

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