¿Por qué tantas mates?

Recuerdo un día, hace ya varios años, estaba yo sentando en el tren, con la única aspiración de llegar a casa y pillar la cama tras un duro día en el despacho de la universidad. Como suele pasar en el transporte público, la intimidad brilla por su ausencia. Y para pasar el tiempo, cuando se acaban las pilas de tu mp3, no tienes más remedio que escuchar la conversación de otras personas.

En aquella ocasión, los interlocutores eran una pareja de estudiantes de alguna carrera técnica. Ingeniería informática, creo. El chico iba algún curso por delante y aconsejaba a su amiga sobre las diferentes asignaturas. En cierto momento, la chica mencionó las dificultades que le estaba proporcionando las mates.

El chico respondió, sonriendo, algo del estilo: «Tienes razón, no sé porqué tenemos que hacer todo eso. Habrá gente a quien le interesará, no digo que no, pero para qué vamos a necesitar nosotros hacer integrales triples».

Esa frase no se me olvidará nunca, porque precisamente ese mismo día yo había estado haciendo cálculos con integrales múltiples. No sólo tres, sino N integrales; es decir, una cantidad indeterminada de ellas (nada del otro mundo en realidad, se utiliza bastante en Física; por ejemplo al fundamentar la teoría cuántica a partir de la integral de caminos).

Batallitas y fanfarronadas a parte, las matemáticas siempre han sido una barrera entre la ciencia básica y grandes sectores de la sociedad. Incluso para aquellos sectores cultos, que no son completamente ajenos a la ciencia. Como es el caso de estudiantes de carreras técnicas, que se basan precisamente en la aplicación del conocimiento riguroso. Pero, ¿por qué la ciencia usa tantas matemáticas?

La respuesta es más simple de lo que parece: la ciencia se basa en suponer que el universo es lógico, coherente y consistente. Las matemáticas, por definición, se caracterizan esencialmente por ser lógicas, coherentes y consistentes. Por lo tanto, son un candidato ideal para hacer ciencia.

En resumidas cuentas, las matemáticas se basan en establecer unos axiomas y ver a qué nos llevan utilizando las reglas de deducción lógicas. A partir de esos axiomas podemos realizar una serie de razonamientos lógicos que nos llevan a demostrar que ciertas afirmaciones son ciertas (lo que llamamos teoremas).

Un teorema no es más que la consecuencia de los axiomas. Si los axiomas son ciertos, entonces los teoremas también. Si los axiomas dejan de ser ciertos, el teorema no tiene porque cumplirse más. Dicho de otra forma, dado que existe un razonamiento lógico que demuestra la veracidad del teorema en base del cuerpo axiomático, entonces el teorema es coherente con los axiomas.

Por supuesto, si cambiamos algún axioma, teoremas que antes eran ciertos dejaran de serlo, y viceversa. Por lo tanto, la elección de un conjunto de axiomas adecuado es vital. Entonces, ¿cómo fijamos que axiomas tomar? Pues en lo que queramos, a gusto del artista.

En principio, en matemáticas uno no tiene porqué limitarse a la realidad física del universo. Puede plantear los axiomas que le de la gana, y tendrá una teoría matemática perfectamente válida. Sin embargo, históricamente la ramas de la matemática fueron creadas como un intento de formalizar y abstraer algún aspecto de la vida real. De hecho, creo que no es arriesgado asumir que este fue el origen de las matemáticas como tal. Y no es de extrañar porque, aunque no lo parezcan, los matemáticos también son seres humanos y viven en el mundo físico.

Está claro que no todo es tan fácil como elegir unos cuantos axiomas y ya está. La mayoría de axiomas posibles dan lugar a teorías matemáticas sin ningún interés, triviales.

Dicho de otra forma, establecemos las reglas del juego y jugamos a ellas durante un buen rato. Si nos aburrimos, cambiamos las reglas.

Si nos divertimos, seguimos jugando. Enseñamos el juego a más personas para que también se diviertan. Si también se divierten, es posible que alguien llegue a crear una federación para ese juego, y con el tiempo llegue a considerarse deporte y formar parte del programa olímpico.

Las ramas más importantes de las matemáticas son lo equivalente a los deportes olímpicos: teoría de números, álgebra, análisis, topología, etc.

Volviendo a las ciencias experimentales, ¿por qué usan matemáticas? Como dijimos, la propia existencia ciencia se basa en la presunción que el universo es coherente, que está regido por unas regularidades subyacentes. Y es evidente que debe estar basada en esa suposición. Si el universo no fuera coherente y regular, entonces sería aleatorio, indomable y sería imposible predecir ni comprender nada, con lo cual obviamente sería inútil intentar hacer ciencia.

De alguna forma, la ciencia se basa en observar la naturaleza, sacar conclusiones y utilizar lo aprendido para predecir nuevos fenómenos que podamos observar para comprobar si la línea de razonamiento tomada tiene visos de ser correcta.

Lo que acabamos de leer suena muy parecido a lo que habíamos dicho antes sobre las matemáticas (axioma-deducción-teorema), únicamente añadiendo la observación de la naturaleza al principio y, sobre todo, al final del proceso. Las observaciones iniciales nos permiten establecer una serie de axiomas que pretenden modelar la realidad; los llamamos principios.

A partir de los principios, el científico desarrolla toda una teoría, que le permite predecir nuevos fenómenos. Esas predicciones son el ingrediente esencial para la ciencia, ya que proporciona una oportunidad de falsar la teoría. Basta con montar un experimento para saber si esas predicciones se cumplen: si fallan, la teoría se descarta. Si todo sale según lo predicho, la teoría puede que sea cierta.

En los albores de la ciencia, el razonamiento que nos lleva desde los principios científicos hasta la predicción de nuevos fenómenos se hacía de forma heurística. Es decir, simplemente pensando y razonando. Pero, por supuesto, ello tenía varios problemas, ligados a las limitaciones del ser humano.

En primer lugar, las personas estamos influenciadas por nuestro bagaje cultural y social. Son prejuicios que siempre afectan las conclusiones de nuestros razonamientos. La rigurosidad de las matemáticas nos facilita, en cierta medida, escapar de ello (nunca del todo, porque algunos homo sapiens son más que tozudos).

En segundo lugar, simplemente razonando es extremadamente difícil realizar predicciones precisas. Necesitamos recurrir a los números, que no son más que lo que decíamos antes: entes abstractos de las matemáticas que intentan modelar el mundo real.

De esta forma, las matemáticas se han entrometido entre los principios científicos y la predicción de nuevos fenómenos, dando lugar a la ciencia teórica. Es decir, traducimos las regularidades observadas en la naturaleza (principios) en axiomas matemáticos.

Una vez hecha la traducción, utilizamos toda la potencia lógico-deductiva de las matemáticas para para realizar predicciones cuantitativas y coherentes con las observaciones iniciales. Estas predicciones matemáticas se vuelven a traducir en un concepto físico que podemos ir a la naturaleza a corroborar.

Para terminar, dejadme recordad que eso de la traducción entre observación y matemáticas, aunque suene muy raro, es mucho más simple y cotidiano de lo que parece. Por ejemplo, una simple cinta métrica es un diccionario que permite traducir entre ambos idiomas. No había que irse muy lejos, ¿verdad?

Fotos | Stuartpilbrow, zaprittsky, David Monniaux,