¿Se puede medir el infinito? (II)

En la anterior entrega hablamos de los estudios de Cantor sobre el infinito. Según su teoría, si un conjunto se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (enteros positivos), tiene los mismos elementos que el conjunto de los naturales.

Hasta aquí nada extraño, de no ser porque Cantor demostró con facilidad que, al contrario de lo que dice la intuición, esto implica que los números enteros (que incluyen además los negativos) y los racionales (que incluyen las fracciones) son exactamente tantos como los naturales. A esta cantidad (infinita) se le bautizó como ℵ₀. Teniendo en cuenta que puede haber infinitos "más grandes" que otros, en realidad, ¿qué sentido tiene decir que son infinitos? Por esta razón, se acuñó el término de números transfinitos.

La cardinalidad del continuo

Aunque los conjuntos de los números racionales y de los números reales son infinitos, hay más números reales que números racionales (es decir, la cardinalidad de los reales es mayor que la de los racionales). Los números reales corresponden a todos los números con decimales, incluyendo a aquellos que no proceden de una fracción (y por tanto tienen infinitos decimales en una sucesión no periódica), como pueda ser el número π, sin ir más lejos. A conjunto de los números reales se le llama, en este contexto, 'el continuo'.

Por reducción al absurdo, se puede demostrar que para cualquier enumeración de los números reales, podríamos construir otro número real no recogido dentro de ella. Por lo tanto, la cantidad de números reales es infinitamente superior a la de números racionales: Pero, ¿cuánto? Es más fácil de lo que parece. Si contamos los decimales, un número real tiene infinitos dígitos, que no son más que números naturales. Por ejemplo, 5 = 5.00000..., 10/3 = 3.33333..., π = 3.141592...

Es decir, que cada número real tiene ℵ₀ dígitos. El número de posibles permutaciones de dígitos (y por tanto, el número de posibles números reales) es N^ℵ₀, donde N es la base utilizada. Como el resultado es independiente de la base, si tomamos la más pequeña posible, que es la binaria, llegamos a la conclusión de que la cardinalidad del continuo es c = 2^ℵ₀.

Además, c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales, es decir, del conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de los números naturales. Otros conjuntos importantes con cardinalidad c son el de los números complejos o el de los espacios vectoriales euclídeos de n dimensiones.

Las propiedades de c

El número c tiene también curiosas propiedades. Por ejemplo, es muy fácil de ver que cⁿ = c, donde n es cualquier número finito, ya que cⁿ = 2^ℵ₀·n = 2^ℵ₀ = c. (Esto justifica que los números complejos o los espacios de n dimesiones tengan cardinalidad c). Se puede razonar, de una forma similar, que c^ℵ₀ = c.

Sin embargo, ¿cuánto vale c^c? En este caso, tenemos c^c = 2^ℵ₀·c = 2^c. El número 2^c es la cardinalidad del conjunto potencia de los números reales, y del conjunto de todas las funciones reales.

Continuaremos en el siguiente post hablando de los números aleph (como ℵ₀), los números beth y la hipótesis del continuo.

Imagen | m. a. r. c. En Genciencia | ¿Se puede medir el infinito? (I)