Durante 2006 se habló bastante de la conjetura de Poincaré. Aunque no está relacionado directamente, hoy me gustaría hablar de los simplex. Para que se entienda fácilmente, un simplex o n-simplex es análogo a un triángulo en n dimensiones. Por ejemplo, un 0-simplex es un punto, un 1-simplex un segmento, un 2-simplex un triángulo, un 3-simplex un tetraedro, un 4-simplex un pentácoron, un 5-simplex un hexatetron... Con una defición matemática un tanto más rigurosa, tenemos que un simplex es la envoltura convexa de un conjuto de (n+1) puntos independientes afines en un espacio euclidiano de dimensión n o mayor (por ejemplo, un conjunto de puntos tal que ningún m-plano contenga más de m+1 de ellos, así que se puede decir que dichos puntos están en posición general). Un simplex regular es también un politopo regular. Un n-simplex regular puede ser construido a partir de un (n-1)-simplex regular conectando un nuevo vértice a los vértices originales por la longitud común del lado.
La envoltura convexa de cualesquier subconjunto no vacío que defina un n-simplex se denomina cara del simple. En particular, la envoltura convexa de un subconjunto de tamaño m+1 (de n+1 puntos definidos) es un m-simplex, denominada m-cara del n-simplex. 0-caras se llaman vértices, las 1-caras lados, las (n-1)-caras se llaman facetas, y la única n-cara es el n-simplex en sí. En general, el número de m-caras es igual al coeficiente binomial C(n + 1, m + 1). Por lo tanto, el número de m-caras de un n-simplex puede hallarse en la columna (m + 1) de la fila (n + 1) del Triángulo de Pascal.
Aunque todos los n-simplex se pueden encontrar embedidos en el conjunto Rn es más simétrico considera un simplex en un espacio dimensional n+1. El n-simplex estándar es el subconjunto de Rn+1.
Quitando la restricción ti ≥ 0 en la condición anterior da una n-dimensional subespacio afín de Rn+1 conteniendo el estándar n-simplex. Los vértices del estándar n-simplex son los puntos:
e0 = (1, 0, 0, …, 0), e1 = (0, 1, 0, …, 0), ... en = (0, 0, 0, …, 1).
Ese es un mapa canónico desde el estándar n-simplex para un arbitrario n-simplex con vértices (v0, …, vn) dado para
Los coeficientes ti son llamados coordenadas baricentricas de un punto en el n-simplex. Este simplex general es a menudo llamado n-simplex afín, para enfatizar el mapa canónico es una transformación afín. A veces también es llamado n-simplex afín orientado para enfatizar que el mapa canónico puede ser de orientación preservada o revertido.
El volumen de un n-simplex estándar es
y el volumen general para un n-simplex regular con una única longitud de cara es
