Una demostración matemática sin palabras

Los números primos siempre han sido la atracción de los matemáticos. Marin Mersenne estaba intrigado por aquellos que tenían la forma 2^p-1, siendo p un número primo. Los números resultantes de esa operación son obviamente impares, pero lo curioso es que muchos de ellos también son primos. A aquellos que tienen esa forma se les llama números primos de Mersenne.

La regla se cumple para se cumple para 2, 3, 5 y 7; pero no para el 11, y a partir de ahí empiezan los problemas. Si tomamos el número de Mersenne 11 tenemos que 2¹¹–1 = 2.047 pero no es primo, ya que es también el producto de 23 x 89. Mersenne sabía perfectamente que, aunque el exponente del 2 fuera un número primo, no era garantía suficiente para que el resultado de 2^p – 1 también lo fuera. Conjeturó que sólo los números primos para los que se cumplía la fórmula eran 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. Pero se le pasó que 2⁶¹– 1también era primo y 2⁶⁷–1 no lo es.

Hoy día los ordenadores hacen un trabajo sensacional y el mayor número primo de Mersenne conocido es el 2^57885161-1 (en este enlace tenéis una lista completa actualizada de los números primos de Mersenne). Es un número enorme, de más de 17 millones de cifras. Y es que los ordenadores nos facilitan mucho el trabajo. Pero hubo una época que no era así y el cálculo era mucho más manual y tedioso.

Concretamente, un caso en el que se echó de falta un buen ordenador es el 2⁶⁷–1. En 1876 Edouard Lucas demostró de forma indirecta que debía tener divisores pero sin llegar a mostrarlos. Pero claro, con pruebas indirectas siempre queda la duda de saber qué número lo divide.

Allá por el 1903 había una reunión de la American Mathematical Society. Entre los conferenciantes programados figuraba el matemático Frank Nelson Cole.

Cuando le tocó el turno, se levantó y fue caminando en completo silencio hasta el escenario. Multiplicó 2 por 2, 67 veces y le restó cuidadosamente 1, obteniendo la enorme cifra de 147.573.952.589.676.412.927. Los que, más que escuchar, observaban, vieron asombrados cómo Cole iba al otro lado de la pizarra y escribía a continuación 193.707.721 x 761.838.257.287 realizándola y obteniendo el mismo resultado.

Entre que los asistentes quedaron sin habla y que el conferenciante se fue a su asiento sin haber pronunciado una sola palabra, ya podéis imaginar la emoción del momento. Nadie hizo pregunta alguna. Todos sabían que era realmente un momento histórico. De pronto, la sala prorrumpió en aplausos. Le hicieron una larguísima ovación.

Más tarde, Cole confesaría que le llevó "tres años de domingos".

La cantiad de pruebas que tuvo que hacer es digno de la mayor de las cabezonerías

Fuentes:

William Dunham, El Universo de las matemáticas.

Ian Crofton, Historia de la ciencia sin los trozos aburridos.

Foto Mersenne| Kelson

Foto F.N. Cole | wikipedia