Wavelets

Toda transformada wavelet considera una función (que se supone dependiente del tiempo) en términos de oscilaciones tanto en el tiempo como en la frecuencia. La transformada de Fourier descompone funciones (o señales como diría un ingeniero) en combinaciones lineales de funciones exponenciales. La función exponencial satisface unas simples ecuaciones diferenciales (f'(x) = f(x) y f''(x) = -f(x)). Con esto tenemos que para algunas aplicaciones es útil llevar wavelets a bloques básicos. Las wavelets de Daubechies están basadas en ecuaciones de dilatación, las cuales tienen la siguiente forma

Esto motiva a introducir una nueva clase de funciones, las cuales vamos a llamar temporalmente Funciones P-Di, que son soluciones de ecuaciones de la forma

donde c_k,j son polinomios de x. Introduce el operador doble T_x por T_xf(x) = f(2x).

Las Funciones P-Di son exactamente esas funciones Φ(x) que se encuentran canceladas por operadores de la forma P(T_x, E_x, x), donde E_x es el operador shift en x: E_xf(x) = f(x+1).

No tenemos que pararnos en una variable. Consideremos las funciones F(x,y) que son diholonómicas (una función holonómica satisface una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinómicos). Por ejemplo, satisface un sistema de dos ecuaciones independientes

P(x, T_x, E_x, y,T_y, E_y)F(x, y) = 0, Q(x, T_x, E_x, y,T_y, E_y)F(x, y) = 0

Entonces debe de ser posible efectuar la eliminación en el anillo K(x, T_x, E_x, y, E_y, T_y) para eliminar y, consiguiendo un operador R(x, T_x, E_x, T_y, E_y) independiente de y. Ahora, usando

podemos ver inmediatamente que

es anulado por el operador R(x, T_x, E_x, 1/2, 1), obtenido al sustituir E_y por 1 y T_y por 1/2. Por lo tanto a(x) es una Función P-Di de una sola variable.

Referencias | Wikipedia.org Referencias | M.Petkovšek, H.Wilf, A=B, 1997 Referencias | I.Daubechies Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, 1988